محاسبه مساحت جانبی و حجم استوانه

یکی از مهم‌ترین اشکال هندسی در فضای سه ‌بعدی محسوب می‌شود که در علوم هندسه و ریاضیات کاربردهای بسیاری دارد. در این مقاله قصد داریم تا با استوانه بیشتر آشنا شده، برخی از مهم‌ترین خصوصیات آن را برشمرده و در ادامه نحوه محاسبه مساحت جانبی استوانه، حجم استوانه و همچنین سطح کلی استوانه را آموزش دهیم.

 

اگر به دنبال  تمامی فرمول های ریاضی مساحت و محیط ها هستید پیشنهاد میکنم مقاله مساحت و محیط اشکال هندسی را مطالعه کنید.

 

در ادامه این مطلب با تیم آموزشی رایاد همراه باشید .

استوانه و ویژگی‌های مهم آن

 

استوانه یکی از پایه‌ای‌ترین شکل‌های منحنی فضایی در هندسه به شمار می‌آید. در استوانه‌ها سطح دور شکل از مجموعه نقاطی تشکیل می‌شوند که در فاصله‌ای یکسان از یک خط راست قرار دارند. این خط راست محور استوانه نام دارد. همچنین دو سر این شکل به کمک دو صفحه عمود بر محور استوانه احاطه شده است که به عنوان قاعده‌های استوانه شناخته می‌شوند. هر استوانه خصوصیات مهم زیر را دارا است:

• یکی از وجه‌های استوانه منحنی است.
• دو سر استوانه توسط قاعده‌های دایره‌ای شکل آن احاطه شده‌اند.
• هر دو قاعده‌ استوانه دقیقاً یک شکل و یک اندازه هستند.
• خط راست عمود بر هر دو قاعده استوانه ارتفاع آن نامیده می‌شود.
• با توجه به منحنی بودن یکی از وجوه استوانه، این شکل چند وجهی محسوب نمی‌شود

 

 

محاسبه مساحت جانبی استوانه

 

برای محاسبه مساحت جانبی استوانه باید محیط قاعده آن را به دست آورده و در اندازه ارتفاع ضرب کنیم. به عبارتی داریم:

 

محیط قاعده × ارتفاع = مساحت جانبی استوانه

 

از آنجایی که قاعده‌های استوانه دایره‌ای شکل هستند، پس برای به دست آوردن سطح جانبی آن باید محیط دایره را در ارتفاع ضرب کنیم. به طور کلی، رابطه سطح جانبی استوانه بر اساس نمادهای ریاضیاتی به صورت زیر خواهد بود:

 

 

مثال 1: مساحت جانبی استوانه‌های زیر را به دست آورید.

 

 

برای این منظور ابتدا محیط قاعده‌ دایره‌ای شکل استوانه را محاسبه کرده و آن را در اندازه ارتفاع ضرب می‌کنیم. پس خواهیم داشت:

 

 

مثال2: فرض کنید لیوانی استوانه‌ای به شعاع قاعده ۴ سانتی‌متر و ارتفاع ۸ سانتی‌متر داریم که می‌خواهیم کل سطح آن را با کاغذی رنگی بپوشانیم. برای این منظور چقدر کاغذ نیاز خواهیم داشت؟

 

 

از آنجایی که لیوان استوانه‌ای تنها یک قاعده دارد، برای محاسبه مقدار کاغذ مورد نیاز کافی است تا مساحت جانبی این استوانه را محاسبه کنیم. برای این منظور خواهیم داشت:

 

 

اگر برای یادگیری دروس خود در جستجوی یک فضای آموزشی جذاب و کارآمد هستید، بر روی لینک نرم افزار کیف آریا کلیک کنید.

 

محاسبه حجم استوانه

 

برای به دست آوردن حجم استوانه مساحت قاعده آن را محاسبه کرده و در اندازه ارتفاع استوانه ضرب می‌کنیم. بنابراین فرمول محاسبه حجم به شرح زیر خواهد بود:

مساحت قاعده ×‌ ارتفاع = حجم استوانه

از آنجایی که قاعده‌های استوانه، دایره‌ای شکل هستند، بنابراین برای به دست آوردن حجم این شکل ابتدا باید مساحت دایره را به دست آوریم. سپس مقدار آن را در اندازه ارتفاع ضرب کنیم. بنابراین این رابطه بر اساس نمادهای ریاضیاتی به صورت زیر خواهد بود:

 

 

مثال3: حجم استوانه‌های زیر را به دست آورید.

 

 

برای این منظور ابتدا مساحت قاعده دایره‌ای شکل را محاسبه کرده و سپس مقدار حاصل را در ارتفاع ضرب می‌کنیم. بنابراین خواهیم داشت:

 

 

مثال4: در شکل زیر، کره کاملاً مماس بر استوانه قرار دارد. حجم فضای خالی بین کره و این استوانه را به دست آورید.

 

 

از آنجایی که سطح کره کاملاً بر استوانه مماس است، می‌توان گفت که شعاع کره برابر با شعاع استوانه و قطر آن با ارتفاع استوانه برابر است. حال برای محاسبه حجم فضای خالی بین این دو شکل کافی است ابتدا حجم کره را به دست آورده، سپس حجم استوانه را محاسبه کنیم و در آخر آن‌ها را از هم کم کنیم. بنابراین خواهیم داشت:

 

 

مثال5: فرض کنید محفظه‌ای به شکل استوانه به شعاع قاعده ۵ متر و ارتفاع ۸ متر داریم. اگر بخواهیم کل فضای این استوانه را پر از آب کنیم، چه مقدار آب در آن جای می‌گیرد؟

 

 

برای محاسبه مقدار آبی که در این محفظه جای می‌گیرد، کافی است تا حجم استوانه را به دست آوریم. بنابراین خواهیم داشت:

 

 

برای آشنایی با نرم افزارها و فیلم های آموزشی ریاضی ششم دبستان بر روی باکس های زیر کلیک کنید.

محاسبه سطح کلی استوانه

 

سطح کلی استوانه از مجموع مساحت جانبی آن و مساحت دو قاعده دایره‌ای به دست می‌آید. به عبارت دیگر، برای به دست آوردن مساحت کلی استوانه از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

مساحت جانبی + مساحت دو قاعده = سطح کلی استوانه

 

اگر بخواهیم فرمول بالا را بر اساس نمادهای ریاضیاتی نشان دهیم، خواهیم داشت:

 

مثال6: سطح کلی استوانه‌های زیر را به دست آورید.

 

 

برای این منظور ابتدا مساحت جانبی هر استوانه را محاسبه کرده و آن را با مساحت مجموعه دو قاعده دایره‌ای جمع می‌کنیم. بنابراین خواهیم داشت:

 

 

مثال7: فرض کنید سیلندری به شکل استوانه به شعاع قاعده ۱۰ متر و ارتفاع ۱۸ متر داریم. اگر بخواهیم کل سطح این سیلندر را رنگ آمیزی کنیم، به چه میزان رنگ برای این کار نیاز خواهیم داشت؟

 

 

برای این منظور کافی است تا اندازه سطح کلی استوانه را به دست آوریم. بنابراین خواهیم داشت:

 

 

فیلم های آموزشی لوح گسترش از جمله موثرترین ابزارهای آموزش درس ریاضی هستند که با بهره مندی از آموزش تصویری یادگیری مفاهیم ریاضی را برای دانش آموزان جذاب و آسان نموده است. مجموعه فیلم های کمک آموزشی لوح دانش فرصت یادگیری صحیح  ریاضی را در تمامی پایه ها مهیا ساخته است.

برای دسترسی به این مجموعه ارزشمند بر روی لینک فیلم های لوح دانش کلیک نمایید.