محاسبه مساحت جانبی و کلی منشور

یکی دیگر از اشکال پرکاربرد هندسی منشورها هستند که اشکالی سه بعدی بوده و دارای دو سطح موازی به نام قاعده می‌باشند. در این مقاله قصد داریم تا با تعریف منشور آشنا شده و نحوه محاسبه مساحت جانبی و مساحت کلی آن را در قالب مثال‌های کاربردی آموزش دهیم.

اگر به دنبال تمامی فرمول های ریاضی مساحت و محیط ها هستید پیشنهاد میکنم مقاله مساحت، محیط و حجم اشکال هندسی را  مطالعه کنید.

 

انواع منشور و ویژگی‌های آن

در هندسه، منشور یک چندوجهی است که دو قاعده n ضلعی و n وجه دارد. هر یک از وجه‌های این شکل هندسی در فضای سه بعدی به n رأس متناظر آن در قاعده دیگر وصل می‌شوند. همچنین منشورها با توجه به تعداد اضلاع قاعده‌ آن‌ها نام‌گذاری می‌شوند. به ‌عنوان مثال، یک منشور با قاعده پنج‌ ضلعی منشور پنج‌ ضلعی نامیده می‌شود. از جمله ویژگی‌های بارز منشور می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:

  • تمام وجوه منشور لزوماً متوازی الاضلاع هستند.
  •  مساحت سطح هر دو قاعده موازی در هر منشور با یکدیگر برابر هستند.
  •  اندازه خطی عمود بین دو قاعده منشور را ارتفاع آن منشور می‌نامند.
  • در منشورها، تمامی وجوه باید از سطوحی صاف تشکیل شده باشد.
  •  منشور منتظم شکلی است که در آن سطح قاعده منشور دارای اضلاع برابر و زوایای برابر باشند.

 

 

مساحت جانبی منشور

 

اجزای منشور 

 
به طور کلی هر منشور دارای دو قاعده می باشد. دو قاعده هر منشور با توجه به نوع منشور می تواند 3 ضلعی، 4 ضلعی، 5 ضلعی و 6 ضلعی باشد اما وجه های جانبی هر منشور با توجه به نوع قاعده‌ی آن متغییر است. رابطه‌ی زیر را در نظر بگیرید:
 
 
منشور n  پهلو ، دارای n  وجه جانبی و  n+2  وجه است.
 
 
  • برای مثال یک منشور 3 وجهی ( منشور سه پهلو )، دارای 3 وجه جانبی  و در کل دارای 5 وجه است.
  • یک منشور 4 وجهی ( منشور چهار پهلو)، دارای 4 وجه جانبی و در کل دارای 6 وجه است.
 
 
 

مساحت جانبی منشور - اجزای منشور

 

 
نکته: توجه داشته باشید که هرم و منشور سه وجهی یکی نیستند و با هم تفاوت دارند، منشورها دو قاعده دارند و هرم ها دارای یک قاعده هستند.
 

محاسبه مساحت جانبی منشور

در ابتدا قبل از ارائه‌ی فرمول مساحت جانبی منشور باید به درک درستی از مفهوم مساحت جانبی منشور دست یابیم.

 

مساحت جانبی چیست ؟

به مساحت تمام وجه های جانبی یا پهلوهای منشور مساحت جانبی می گویند. به بیان ساده تر مساحت جانبی عبارت است از مساحت تمام وجه های منشور به غیر از مساحت دو قاعده بالا و پایین.

مساحت جانبی منشور با مجموع مساحت هر یک از وجوه آن برابر است. حال برای به دست آوردن سطح جانبی منشور از رابطه زیر استفاده می‌کنیم:

محیط قاعده × ارتفاع = مساحت جانبی منشور

اگر بخواهیم رابطه فوق را بر اساس نمادهای ریاضیاتی بنویسیم، خواهیم داشت:

h × P = جانبی S

در این رابطه P اندازه محیط قاعده منشور بوده و h ارتفاع آن را نشان می‌دهد.

 

نکته: در نظر داشته باشید که ارتفاع در هر منشور برابر است با فاصله‌ی بین دو قاعده‌ی منشور.  

 

مساحت منشور

 
 
 
آموزش مفهومی و تعاملی مبحث محیط و مساحت اشکال هندسی همراه با تمرین های مستمر منجر به یادگیری عمیق مفاهیم ریاضی در دانش آموزان می شود. سی دی های میشا و کوشا از جمله محصولات کمک آموزشی کاربردی در این زمینه هستند.
 
برای دریافت اطلاعات بیشتر و دسترسی به این مجموعه بر روی لینک خرید نرم افزار میشا و کوشا کلیک نمایید.
 

 

محیط قاعده منشور 

 
در تمامی منشورها برای بدست آوردن محیط قاعده تنها باید مجموع اضلاع قاعده را بدست آورید ( محیط هر شکل برابر است با اندازه‌ی دور تا دور آن) به بیانی دیگر:
 
  • در منشور سه وجهی قاعده منشور یک مثلث است بنابراین محیط قاعده برابر است با  یک ضلع × 3
  • در  منشور چهار وجهی قاعده منشور یک شکل چهار ضلعی یا مربع است بنابراین محیط قاعده برابر است با یک ضلع  ×4
  • در منشور پنج وجهی قاعده منشور یک پنج ضلعی است بنابراین محیط قاعده برابر است با یک  ضلع × 5

 

مثال1: مساحت جانبی منشورهای منتظم زیر را به دست آورید.

 

مثال مساحت جانبی منشور

 

از آنجایی که منشورها منتظم هستند، پس تمامی اضلاع قاعده آن با هم برابرند. بنابراین برای محاسبه محیط قاعده در هر منشور کافی است تا اضلاع آن‌ها را با همدیگر جمع کنیم. سپس اندازه محیط قاعده را در ارتفاع داده شده ضرب کنیم. بر همین اساس خواهیم داشت:

 

محاسبه مساحت جانبی منشور

 

مثال2 : فرض کنید منشور سه وجهی منتظمی با اندازه ضلع قاعده ۱۰ و ارتفاع ۱۵ سانتی متر داریم. حال می‌خواهیم دور تا دور این منشور را با روکشی ضخیم بپوشانیم؛ به طوری که نوری از وجوه جانبی آن عبور نکند. برای این کار به چند سانتی متر مربع روکش نیاز داریم؟

 

مساجت جانبی

 

برای این منظور کافی است تا اندازه مساحت جانبی منشور را به دست آوریم. منشور ما منتظم است؛ بنابراین اضلاع قاعده آن با هم برابر بوده و محیط قاعده نیز برابر با مجموع اندازه اضلاع خواهد بود. حال پس از محاسبه محیط قاعده، اندازه آن را در ارتفاع ضرب کرده و سطح جانبی منشور را به دست می‌آوریم. بنابراین خواهیم داشت:

 

مساحت جانبی منشور

برای آشنایی با نرم افزارها و فیلم های آموزشی ریاضی ششم دبستان بر روی باکس های زیر کلیک کنید.

100,000 تومان
تمام شد
100,000 تومان
120,000 تومان

محاسبه مساحت کلی منشور

مساحت کلی منشور عبارت است از مجموع مساحت دو قاعده به اضافه مساحت جانبی منشور. بر همین اساس رابطه سطح کلی منشور به صورت زیر خواهد بود:

 

جانبی S + قاعدهS۲ = کلیS

مساحت قاعده منشور 

فرمول مساحت کلی منشور در مورد تمام منشورها صدق می کند تنها باید تفاوت مساحت قاعده در انواع منشور را در نظر بگیرید.

  • در منشور سه وجهی منتظم قاعده منشور یک مثلث است بنابراین مساحت قاعده برابر است با 2 ÷ ( ارتفاع × ضلع قاعده )
  • در منشور چهار وجهی منتظم قاعده منشور یک شکل چهار ضلعی یا مربع است بنابراین مساحت قاعده برابر است با طول × عرض
  • در منشورپنج وجهی منتظم قاعده منشور یک پنج ضلعی است بنابراین مساحت قاعده برابر است با 2÷ (محیط قاعده × ارتفاع قاعده)

 

مثال3 : مساحت کلی منشور سه وجهی زیر را به دست آورید.

 

مثال مساحت کلی منشور

 

 

برای به دست آوردن سطح کلی منشور ابتدا مساحت جانبی آن را محاسبه کرده، سپس مساحت یکی از قاعده‌های آن را به دست می‌آوریم.

نکته: همچنین همان‌طور که در شکل فوق می‌بینید، قاعده منشور سه وجهی مثلث است. به عبارتی، برای پیدا کردن مساحت قاعده باید از رابطه مساحت مثلث استفاده کنیم.

 

در ادامه اندازه‌های به دست آمده را در رابطه مساحت کلی جای‌گذاری می‌کنیم. بنابراین خواهیم داشت:

 

مساحت جانبی منشور

 

 

مثال4: در مثال منشور نور، اگر فرض کنیم که ارتفاع قاعده منشور برابر با ۶ سانتی متر باشد و بخواهیم تمامی قسمت‌های آن را با روکشی ضخیم بپوشانیم، به چند سانتی‌متر مکعب روکش نیاز خواهیم داشت؟

 

 

فرمول مساحت کل منشور

 

برای محاسبه روکش موردنیاز جهت پوشاندن سطح کلی منشور، باید اندازه مساحت کلی آن را به دست آوریم. در مثال قبل اندازه مساحت جانبی منشور را محاسبه کردیم. بنابراین در حال حاضر باید مساحت قاعده آن را محاسبه کنیم.

 

سپس اندازه‌های به دست آمده را در رابطه سطح کلی منشور جای‌گذاری کنیم. بنابراین خواهیم داشت:

 

فرمول مساحت کلی منشور

 

مثال 5 : اگر یک جعبه به شکل زیر داشته باشیم و بخواهیم با کاغذ رنگی تمام سطح آن را بپوشانیم چه مقدار کاغذ رنگی نیاز داریم .

 

در این مساله باید مساحت رویه ( مساحت کلی) منشور را محاسبه کنیم برای بدست آوردن مساحت کلی ابتدا باید مساحت جانبی منشور و مساحت قاعده‌ی منشور را محاسبه کنیم .

 

مساجت کلی منشور

 

فیلم های آموزشی از جمله ابزارهای سمعی و بصری هستند که نقش ویژه ای در یادگیری مفهومی و عمیق مباحث ریاضی دارند. فیلم ها فرصت تکرار، تمرین و یادگیری دوباره را برای دانش آموزان فراهم می سازند و باعث تثبیت مفاهیم درسی می شوند.

 

برای بهره مندی از فیلم های کمک آموزشی لوح گسترش بر روی لینک مجموعه فیلم های آموزشی لوح دانش کلیک نمایید.

21 دیدگاه برای “محاسبه مساحت جانبی و کلی منشور

  1. مهدی گفته:

    سلام مساحت جانبی شکل مقابل را محاسبه کنید برای دوستم این سوال اومده بود حالا میخوام جوابشو بدونم

  2. حسین گفته:

    سلام عالی ممنونم
    فقط یک سوال فرض کنیم یک منشور نامتقارن داریم ، حالا زاویه ای که دو خط منشور به هم میرسن رو چطور محاسبه میکنیم، چه فرمولی داره؟
    تشکر

  3. مَلِکا گفته:

    سلام…ممنون از اطلاعات خوبتون…یه سوال داشتم در مورد اینکه سوال:مساحت کل منشور مربع القاعده به ضلع10سانتی متر و ارتفاع 12سانتی متر از فرمولS=h.P پیروی میکنه؟

    • پشتیبان رایاد گفته:

      سلام دوست عزیز

      S=h.P این فرمول برای مساحت جانبیه
      برای حل این سوال باید ابتدا مساحت جانبی رو بدست بیاری از همین فرمول که میشه 40 * 12 = 480

      این رو به علاوه 2 برابر مساحت قاعده کنی که میشه 2 * (10*10) = 200

      در نهایت مساحت کل میشه:
      200 + 480 = 680

    • پشتیبان رایاد گفته:

      سلام دوست عزیز

      با توجه به اینکه مکعب مستطیل نوعی از منشور است مساحت جانبی برابر است با محیط قاعده ضربدر ارتفاع
      و محیط قاعده برابر است با جمع اضلاع مستطیل

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.