محاسبه مساحت جانبی و کلی منشور

یکی دیگر از اشکال پرکاربرد هندسی منشورها هستند که اشکالی سه بعدی بوده و دارای دو سطح موازی به نام قاعده می‌باشند. در این مقاله قصد داریم تا با تعریف منشور آشنا شده و نحوه محاسبه مساحت جانبی و مساحت کلی آن را در قالب مثال‌های کاربردی آموزش دهیم.

اگر به دنبال تمامی فرمول های ریاضی مساحت و محیط ها هستید پیشنهاد میکنم مقاله مساحت، محیط و حجم اشکال هندسی را  مطالعه کنید.

 

انواع منشور و ویژگی‌های آن

در هندسه، منشور یک چندوجهی است که دو قاعده n ضلعی و n وجه دارد. هر یک از وجه‌های این شکل هندسی در فضای سه بعدی به n رأس متناظر آن در قاعده دیگر وصل می‌شوند. همچنین منشورها با توجه به تعداد اضلاع قاعده‌ آن‌ها نام‌گذاری می‌شوند. به ‌عنوان مثال، یک منشور با قاعده پنج‌ ضلعی منشور پنج‌ ضلعی نامیده می‌شود. از جمله ویژگی‌های بارز منشور می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:

• تمام وجوه منشور لزوماً متوازی الاضلاع هستند.
•  مساحت سطح هر دو قاعده موازی در هر منشور با یکدیگر برابر هستند.
•  اندازه خطی عمود بین دو قاعده منشور را ارتفاع آن منشور می‌نامند.
• در منشورها، تمامی وجوه باید از سطوحی صاف تشکیل شده باشد.
•  منشور منتظم شکلی است که در آن سطح قاعده منشور دارای اضلاع برابر و زوایای برابر باشند.

 

 

 

اجزای منشور 

• برای مثال یک منشور 3 وجهی ( منشور سه پهلو )، دارای 3 وجه جانبی  و در کل دارای 5 وجه است.
• یک منشور 4 وجهی ( منشور چهار پهلو)، دارای 4 وجه جانبی و در کل دارای 6 وجه است.

 

محاسبه مساحت جانبی منشور

در ابتدا قبل از ارائه‌ی فرمول مساحت جانبی منشور باید به درک درستی از مفهوم مساحت جانبی منشور دست یابیم.

 

مساحت جانبی چیست ؟

به مساحت تمام وجه های جانبی یا پهلوهای منشور مساحت جانبی می گویند. به بیان ساده تر مساحت جانبی عبارت است از مساحت تمام وجه های منشور به غیر از مساحت دو قاعده بالا و پایین.

مساحت جانبی منشور با مجموع مساحت هر یک از وجوه آن برابر است. حال برای به دست آوردن سطح جانبی منشور از رابطه زیر استفاده می‌کنیم:

محیط قاعده × ارتفاع = مساحت جانبی منشور

اگر بخواهیم رابطه فوق را بر اساس نمادهای ریاضیاتی بنویسیم، خواهیم داشت:

h × P = جانبی S

در این رابطه P اندازه محیط قاعده منشور بوده و h ارتفاع آن را نشان می‌دهد.

 

نکته: در نظر داشته باشید که ارتفاع در هر منشور برابر است با فاصله‌ی بین دو قاعده‌ی منشور.  

 

 

محیط قاعده منشور 

• در منشور سه وجهی قاعده منشور یک مثلث است بنابراین محیط قاعده برابر است با  یک ضلع × 3
• در  منشور چهار وجهی قاعده منشور یک شکل چهار ضلعی یا مربع است بنابراین محیط قاعده برابر است با یک ضلع  ×4
• در منشور پنج وجهی قاعده منشور یک پنج ضلعی است بنابراین محیط قاعده برابر است با یک  ضلع × 5

 

مثال1: مساحت جانبی منشورهای منتظم زیر را به دست آورید.

 

 

از آنجایی که منشورها منتظم هستند، پس تمامی اضلاع قاعده آن با هم برابرند. بنابراین برای محاسبه محیط قاعده در هر منشور کافی است تا اضلاع آن‌ها را با همدیگر جمع کنیم. سپس اندازه محیط قاعده را در ارتفاع داده شده ضرب کنیم. بر همین اساس خواهیم داشت:

 

 

مثال2 : فرض کنید منشور سه وجهی منتظمی با اندازه ضلع قاعده ۱۰ و ارتفاع ۱۵ سانتی متر داریم. حال می‌خواهیم دور تا دور این منشور را با روکشی ضخیم بپوشانیم؛ به طوری که نوری از وجوه جانبی آن عبور نکند. برای این کار به چند سانتی متر مربع روکش نیاز داریم؟

 

 

برای این منظور کافی است تا اندازه مساحت جانبی منشور را به دست آوریم. منشور ما منتظم است؛ بنابراین اضلاع قاعده آن با هم برابر بوده و محیط قاعده نیز برابر با مجموع اندازه اضلاع خواهد بود. حال پس از محاسبه محیط قاعده، اندازه آن را در ارتفاع ضرب کرده و سطح جانبی منشور را به دست می‌آوریم. بنابراین خواهیم داشت: